高中数学2-2-1椭圆及其标准方程.ppt

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课前探究学习 课堂讲练互动了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,椭圆标准方程的推导与化简过程.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.2.2.1 椭圆及其标准方程2.2 椭圆【课标要求】【核心扫描】利用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程.重点会求简单的与椭圆相关的轨迹问题.难点1.2.1.2.课前探究学习 课堂讲练互动椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__________________________的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的_____,_______________叫做椭圆的焦距.想一想在椭圆定义中,将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么提示 当距离之和等于|F1F2|时,动点的轨迹就是线段F1F2;当距离之和小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.自学导引1.距离之和等于常数大于|F1F2| 焦点两焦 间的距离课前探究学习 课堂讲练互动椭圆的标准方程焦点在x轴上 焦点在y轴上标准方程 _________________ __________________焦点坐标 _______________ ______________a,b,c的关系 c2=______a>b>0 a>b>0-c,0,c,00,-c,0,ca2-b22.课前探究学习 课堂讲练互动试一试已知椭圆的标准方程中a=5,b=4,则椭圆的标准方程是什么提示 当焦点在x轴上时,其标准方程为x225+y216=1,当焦点在y轴上时,其标准方程为y225+x216=1. 课前探究学习 课堂讲练互动椭圆的定义的应用1应用椭圆的定义和方程,把几何问题转化为代数问题,再结合代数知识解题.而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密,因此,涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理.2椭圆的定义式|PF1|+|PF2|=2a2a|F1F2|,在解题中经常将|PF1|·|PF2| 一个 体 方等 用.名师点睛1.课前探究学习 课堂讲练互动椭圆标准方程的特点1a、b、c三个 a2=b2+c2ab0, 中2a 椭圆上的点 两焦点的距离之和, 图 的几何 理解 .2利用标准方程 焦点的 的方法¡大¢,£ x2,y2的⁄¥的大¢,ƒ个⁄¥大,焦点§在ƒ个坐标轴上.currency1大的⁄¥¡a2,currency1¢的⁄¥¡b2.2.课前探究学习 课堂讲练互动求椭圆标准方程的方法1定义法,£ “椭圆的定义, 出轨迹¡椭圆,«‹›出 方程.2待定系数法,£fi出椭圆的标准方程,再fl“ –†定a2、b2的‡, · 为“¶定,再定 ”, 一‚„”¡»定 “ – 焦点在x轴上‰¡在y轴上,‰¡两 情¿ ´, fi椭圆方程为x2a2+y2b2=1ab0 y2a2+x2b2=1ab0ˆ ˜†定¯知 “˘知 –˙出关于a、b、c的方程¨,解方程¨, a、b的‡,«‹代˚ fi方程£ .3.课前探究学习 课堂讲练互动题型一 用待定系数法求椭圆的标准方程求¸合 ˙ –的椭圆的标准方程1两个焦点的坐标⁄˝¡-4,0、4,0,椭圆上一点P 两焦点距离的和¡10ˆ2焦点在y轴上, 经过两个点0,2和1,0ˆ【例1】3经过点 63, 3和点2 23 ,1. 课前探究学习 课堂讲练互动[思路探索] 对于1、2可直接用待定系数法设出方程求解,但要注意焦点位置.对于3由于题中条件不能确定椭圆焦点在哪个坐标轴上,所以应分类讨论求解,为了避免讨论,还可以设椭圆的方程为Ax2+By2=1A0,B0,A≠B然后代入已知点求出A,B.解 1˛椭圆的焦点在x轴上, ˇfi的标准方程为x2a2+x2b2=1ab0. ˛2a=10,ˇa=5, ˛c=4,ˇb2=a2-c2=52-42=9. ˇ 求椭圆的标准方程为x225+x29=1. 课前探究学习 课堂讲练互动2˛椭圆的焦点在y轴上, ˇfi的标准方程为y2a2+x2b2=1ab0. ˛椭圆经过点0,2和1,0, ˇ4a2+0b2=10a2+1b2=1⇒a2=4,b2=1, 求椭圆的标准方程为y24+x2=1. 3法一 » 椭圆的焦点在x轴上 ,fi椭圆的方程为 x2a2+y2b2=1ab0. ˛点 63, 3和点2 23 ,1在椭圆上, 课前探究学习 课堂讲练互动ˇ 63 2a2 +3 2b2 =1,2 23 2a2 +12b2=1.ˇa2=1,b2=9. 而ab0. ˇa2=1,b2=9 合题 , £焦点在x轴上的椭圆的方程 在. ˜ 椭圆的焦点在y轴上 ,fi椭圆的标准方程为 y2a2+x2b2=1ab0. ˛点 63, 3和点2 23 ,1在椭圆上, 课前探究学习 课堂讲练互动ˇ 3 2a2 +63 2b2 =1,12a2+2 23 2b2 =1.ˇa2=9,b2=1. ˇ 求椭圆的方程为y29+x2=1. 法二 fi椭圆的方程为mx2+ny2=1m0,n0,m n. ˛点 63, 3和点2 23 ,1 在椭圆上, ˇm 63 2+n· 3 2=1,m· 2 23 2+n·12=1,£2m3 +3n=1,8m9 +n=1.课前探究学习 课堂讲练互动规律方法 求椭圆的标准方程时,要“先定型,再定量”,即要先判断焦点位置,再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程,最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论,但要注意ab0这一条件.当已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设 mx2+ny2=1m0,n0,m≠n的 两个 点 出的方程 中分 不 ; 不用讨论焦点所在的坐标轴, 求解过程.ˇm=1,n=19. ˇ 求椭圆的标准方程为x2+y29=1. 课前探究学习 课堂讲练互动课前探究学习 课堂讲练互动求¸合 ˙ –的标准方程1两个焦点坐标⁄˝¡-3,0,3,0,椭圆经过点5,0ˆ2两个焦点坐标⁄˝¡0,5,0,-5,椭圆上一点P 两焦点的距离之和为26.【变式1】解 1因为椭圆的焦点在x轴上, fi的标准方程为x2a2+y2b2=1ab0. 因为2a= 5+3 2+02+ 5-3 2+02=10,2c=6, a=5,c=3, b2=a2-c2=52-32=16. 求椭圆的标准方程为x225+y216=1. 课前探究学习 课堂讲练互动2因为椭圆的焦点在y轴上, fi的标准方程为 y2a2+x2b2=1ab0. 因为2a=26,2c=10, a=13,c=5. b2=a2-c2=144. 求椭圆标准方程为y2169+x2144=1. 课前探究学习 课堂讲练互动[思路探索] 可先 用a,b,c 系求出|F1F2|,再用定义及 定 求出|PF1|·|PF2|,最后求出S F1PF2. 题型二 椭圆定义的应用【例2】 图 ,点P¡椭圆x25+y24=1上的一点,F1和 F2 ¡焦点, F1PF2=30 ,求 F1PF2的面Æ. 解 在椭圆x25+y24=1中,a= 5,b=2, ˇc= a2-b2=1. ˛P在椭圆上, ˇ|PF1|+|PF2|=2a=2 5 » 课前探究学习 课堂讲练互动ª 定理知|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 30°=|F1F2|2=2c2=4˜»式两边平方, |PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=20 -˜, 2+ 3|PF1| |PF2|=16, ˇ|PF1| |PF2|=162- 3, ˇS PF1F2=12|PF1| |PF2| sin 30 =8-4 3. 课前探究学习 课堂讲练互动规律方法 在椭圆中由椭圆上的点,两个焦点 的焦点引出的 题 ,要解 这 题 , 经常 用椭圆的定义,¡ 定 , 定 及 ¢£⁄ ,这就¥要 在解题时,要ƒ分 解题意,分§条件, 用椭圆定义、¡ 定 、 定 及 ¢£⁄ 之currency1的 系“« 中的‹ 之currency1的 系.在解题中,经常把|PF1|·|PF2|›fi一个fl –† .课前探究学习 课堂讲练互动解 图 , ˘知a=5, AF1B的 Łl=|AF1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF2|+|BF1|=4a=20.【变式2】˘知经过椭圆x225+y216=1的Ø焦点F2的Œ线ABºŒ于x轴, 椭圆于A、B两点,F1¡椭圆的 焦点.求 AF1B 的 Ł. 课前探究学习 课堂讲练互动12⁄˘知B、C¡两个定点,|BC|=8, ABC的 Ł等于18.求这个三角形的 点A的轨迹方程.题型三 与椭圆有关的轨迹问题与椭圆有关的轨迹问题【例3】[规范解答] 过B、C两点的Œ线为x轴,线段BC的ºŒ平⁄线为y轴, Œ角坐标系xOy. 图 . 2⁄课前探究学习 课堂讲练互动|BC|=8, 知点B-4,0,C4,0.|AB|+|AC|+|BC|=18, |AB|+|AC|=10 , 6⁄因此,点A的轨迹¡ B、C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10ˆ 8⁄æ点A 在x轴上. a=5,c=4, b2=a2-c2=25-16=9. 10⁄点A的轨迹方程为x225+y29=1y 0. 12⁄ ‡题后反思· 用椭圆的定义求轨迹方程,是先由条件¶动点所‚„的条件,›其是”»合椭圆的定义,再确定椭圆的方程.‰注意点A不在x轴上, ¿y≠0.课前探究学习 课堂讲练互动˘知动圆M过定点A-3,0, 内 于定圆Bx-32+y2=64.求动圆圆 M的轨迹方程.解 fi动圆M的 ı为r, |MA|=r,|MB|=8-r,ˇ|MA|+|MB|=8, 8|AB|=6,ˇ动点M的轨迹¡椭圆, 焦点⁄˝¡A-3,0,B3,0, 2a=8,ˇa=4,c=3,ˇb2=a2-c2=16-9=7.【变式3】求动圆圆 M轨迹方程¡x216+y27=1. 课前探究学习 课堂讲练互动在 内ł中,ø常œ的⁄ß论¡因焦点的 †定而 的ß论.椭圆的一个 点为A2,0, Ł轴Ł¡ 轴Ł的2 ,求椭圆的标准方程.[思路分析] 题 出焦点的位置,要´ˆ两˜位置,进行分类讨论.方法技巧 分类讨论思想在椭圆中的应用【示例】课前探究学习 课堂讲练互动方法点评 ¯题要求˘˙椭圆上的点和¨ 轴之currency1的 系求标准方程,´˚椭圆的标准方程和¸´ 题的 ¢˝;椭圆的标准方程 两个,˛出一个ˇ点的坐标和对轴的位置,是不能确定椭圆的 的, 要´ˆ两˜ .解 » A2,0为Ł轴端点 ,a=2,b=1,椭圆的标准方 程为x24+y2=1ˆ ˜ A2,0为 轴端点 ,b=2,a=4, 椭圆的标准方程为x24+y216=1. 综上 述,椭圆的标准方程为x24+y2=1 x24+y216=1.
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